Алгебра и геометрия
1 семестр · 75 вопросов билетов (3 группы)0/75
Первые вопросы (Линейные пространства и алгебра матриц)
1
Определитель квадратной матрицы как полилинейная функция ее столбцов (строк). Обнуление при совпадении аргументов и знакопеременность.
2
Ранг суммы и произведения матриц. Неравенства Сильвестра и Фробениуса.
3
LU-разложение и строго регулярные матрицы.
4
Миноры и их алгебраические дополнения. Теорема Лапласа.
5
Разделение переменных и разложимые матрицы. Скелетное разложение.
6
Сумма и пересечение подпространств. Теорема Грассмана.
7
Линейная комбинация, линейная оболочка. Критерии линейной зависимость (независимости).
8
Присоединённая и обратная матрица. Критерий обратимости.
9
Линейное пространство. Базис и размерность. Изоморфизм.
10
Определитель квадратной матрицы как полилинейная функция ее столбцов (строк). Обнуление при совпадении аргументов и знакопеременность.
11
Сохранение определителя при транспонировании. Определитель произведения матриц.
12
Миноры и их алгебраические дополнения. Теорема Лапласа.
13
Матрицы с диагональным преобладанием.
14
Ранг матрицы и линейная зависимость ее столбцов (строк). Теорема о базисном миноре.
15
Ранг суммы и произведения матриц. Неравенства Сильвестра и Фробениуса.
16
Разделение переменных и разложимые матрицы. Скелетное разложение.
17
Элементарные преобразования матриц и матрицы элементарных преобразований.
18
Приведение матрицы к ступенчатому виду. Приведение матрицы к диагональному виду. Эквивалентные матрицы.
19
LU-разложение и строго регулярные матрицы.
20
Умножение блочных матриц и дополнение по Шуру.
21
Общее решение системы линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Ранг и дефект матрицы.
22
Системы линейных алгебраических уравнений с невырожденной матрицей коэффициентов. Правило Крамера.
23
Линейное многообразие и плоскость. Направляющее пространство.
24
Сумма и пересечение подпространств. Теорема Грассмана.
25
Число арифметических операций в методах умножения матриц, построения обратной матрицы и вычисления определителя.
Вторые вопросы (Элементы общей алгебры)
26
Характеристика поля. Число элементов в конечном поле. Мультипликативная группа конечного поля.
27
Декартово произведение множеств и бинарные отношения. Отношение эквивалентности. Классы эквивалентности. Бинарные операции. Ассоциативность и скобки.
28
Группа невырожденных матриц (полная линейная группа). Группа невырожденных треугольных матриц. Группа ортогональных матриц.
29
Циклические группы и их подгруппы. Смежные классы. Теорема Лагранжа для конечных групп.
30
Группа корней из единицы, первообразные корни. Круговые многочлены.
31
Сопряженные элементы. Нормальные подгруппы (нормальные делители) и фактор-группы.
32
Централизаторы элементов и центр группы. Нетривиальность центра примарной группы.
33
Симметрическая и знакопеременная группы. Отображение Кэли.
34
Изоморфизмы и гомоморфизмы групп. Теорема о гомоморфизме.
35
Действие группы на множестве, орбиты, неподвижные точки и стабилизаторы. Теорема Бёрнсайда.
36
Представление конечнопорожденной аддитивной абелевой группы прямой суммой циклических подгрупп.
37
Кольцо вычетов и его обратимые элементы. Функция Эйлера. Поле вычетов по простому модулю.
38
Целостное кольцо и поле дробей (частных).
39
Линейные пространства и алгебры. Размерность и базис. Изоморфизмы колец, полей, линейных пространств и алгебр.
40
Линейные пространства при расширении поля. Конечные расширения и степень расширения.
41
Характеристика поля. Число элементов в конечном поле. Цикличность мультипликативной группы конечного поля.
42
Построение поля с числом элементов равным степени простого числа.
43
Группа корней из единицы, первообразные корни. Круговые многочлены.
44
Непрерывность и рост модуля комплексного многочлена. Лемма Даламбера. Основная теорема алгебры.
45
Деление с остатком в кольце алгебраических многочленов. Теорема Безу. Алгоритм Евклида и теорема (соотношение Безу) о наибольшем общем делителе.
46
Разложение комплексных многочленов на линейные множители. Разложение вещественных многочленов на линейные и квадратичные множители.
47
Факториальность кольца алгебраических многочленов над полем.
48
Алгебраическое расширение поля. Алгебраические числа и их минимальные многочлены. Поле алгебраических чисел.
49
Лемма Гаусса и неприводимость многочлена с целыми коэффициентами над полем рациональных чисел
50
Расширение поля присоединением корня и поле разложение многочлена.
Третьи вопросы (Элементы геометрии)
51
Аффинные и выпуклые комбинации векторов. Аффинные и выпуклые оболочки. Теоремы Радона и Хелли.
52
Метод вращений для ортоконгруэнтной диагонализации вещественной симметричной матрицы.
53
Эллипс, гипербола, парабола как геометрические места точек. Эксцентриситет, фокус и директриса.
54
Касательные к кривым второго порядка и оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы.
55
Поверхности второго порядка в декартовых координатах. Конические сечения. Линейчатые поверхности.
56
Основная и расширенная матрицы квадратичной гиперповерхности. Замена переменных и конгруэнтное преобразование матриц. Инварианты.
57
Ориентация базиса. Векторное и смешанное произведения геометрических векторов. Геометрический смысл определителя.
58
Критерий параллельности вектора и гиперплоскости, заданной общим уравнением в аффинной системе координат.
59
Параллельные хорды и центры симметрии квадратичной гиперповерхности.
60
Аффинная система координат. Переход к другой системе координат. Матрица перехода.
61
Алгебраические многообразия и поверхности. Линейные многообразия и плоскости. Гиперплоскости и полупространства.
62
Размерность плоскости. Плоскость как пересечение гиперплоскостей.
63
Критерий параллельности вектора и гиперплоскости, заданной общим уравнением в аффинной системе координат.
64
Аффинные и выпуклые комбинации векторов. Аффинные и выпуклые оболочки.Теоремы Радона и Хелли.
65
Скалярное произведение геометрических и арифметических векторов. Неравенство Коши-Буняковского-Шварца.
66
Расстояние от точки до гиперплоскости, заданной общим уравнением в декартовой системе координат.
67
Ориентация базиса. Векторное и смешанное произведения геометрических векторов. Геометрический смысл определителя.
68
Основная и расширенная матрицы квадратичной гиперповерхности. Замена переменных и конгруэнтное преобразование матриц. Инварианты.
69
Конгруэнтная диагонализация и приведенные уравнения квадратичной гиперповерхности.
70
Метод вращений для ортоконгруэнтной диагонализации вещественной симметричной матрицы.
71
Эллипс, гипербола, парабола как геометрические места точек. Эксцентриситет, фокус и директриса.
72
Касательные к кривым второго порядка и оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы.
73
Параллельные хорды и центры симметрии квадратичной гиперповерхности.
74
Поверхности второго порядка в декартовых координатах. Конические сечения. Линейчатые поверхности.
75
Аффинные и выпуклые комбинации векторов. Аффинные и выпуклые оболочки. Теоремы Радона и Хелли.