Математический анализ
1 семестр · 43 вопроса экзамена и 100 определений и формулировок0/143
Вопросы к экзамену
1
Понятие множества. Операции над множествами. Декартово произведение множеств. Инъекция, сюръекция, биекция. Счетные множества (примеры и свойства).
2
Понятие мощности множества (примеры и свойства). Пример несчетного множества. Понятие мощности континуум. Неэквивалентность множества и множества всех его подмножеств (без доказательства).
3
Понятие вещественного числа. Принцип полноты множества вещественных чисел.
4
Свойства рациональных чисел. Приближение вещественных чисел рациональными.
5
Ограниченные и неограниченные последовательности. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности, их связь. Основные свойства (ограниченность БМП, произведение ограниченной на БМП, арифметические свойства БМП).
6
Понятие сходящейся последовательности. Основные теоремы о сходящихся последовательностях (единственность предела, ограниченность сходящейся последовательности, арифметические операции над сходящимися последовательностями).
7
Предельный переход в неравенствах для последовательностей. Принцип двусторонней ограниченности для последовательностей.
8
Теорема о пределе монотонной ограниченной последовательности (теорема Вейерштрасса). Лемма о системе стягивающихся сегментов.
9
Теорема о пределе монотонной ограниченной последовательности (теорема Вейерштрасса). Число е.
10
Понятие предельной точки последовательности, понятие подпоследовательности. Эквивалентность двух определений предельной точки. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
11
Понятие верхнего и нижнего предела последовательности. Теорема о существовании верхнего и нижнего пределов у ограниченной последовательности. Критерий сходимости числовой последовательности через верхний и нижний пределы.
12
Определение и свойства фундаментальной последовательности. Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности (критерий Коши).
13
Два определения предельного значения функции (по Гейне и по Коши) и доказательство их эквивалентности. Критерий Коши существования предельного значения функции.
14
Арифметические операции над функциями, имеющими предельное значение. Предельный переход в неравенствах, принцип двусторонней ограниченности для функций. Локальная ограниченность функции, имеющей конечный предел в точке.
15
Бесконечно малые и бесконечно большие (в данной точке) функции и принципы их сравнения. Арифметика о-символики.
16
Понятие непрерывности функции в точке и на множестве. Классификация точек разрыва. Арифметические операции над непрерывными функциями. Локальная ограниченность функции, непрерывной в точке.
17
Понятие непрерывности функции в точке и на множестве. Теорема о сохранении знака функцией, непрерывной в точке. Определение композиции функций. Непрерывность сложной функции.
18
Понятие функции, непрерывной на отрезке. Прохождение непрерывной функции через любое промежуточное значение. Первая и вторая теоремы Вейерштрасса.
19
Определение монотонной функции. Теорема о точках разрыва монотонной функции. Критерий непрерывности монотонной функции.
20
Понятие обратной функции, примеры. Теорема об обратной функции.
21
Определение и основные свойства логарифмической, показательной и степенной функции.
22
Определение и основные свойства тригонометрических и обратных тригонометрических функций.
23
Замечательные пределы.
24
Понятие равномерной непрерывности. Теорема Кантора.
25
Понятие производной и дифференцируемости функции в точке. Связь дифференцируемости и непрерывности. Односторонние производные. Критерий дифференцируемости. Геометрический смысл производной.
26
Правила дифференцирования суммы, произведения и частного двух функций, сложной функции и обратной функции. Формулы дифференцирования простейших элементарных функций.
27
Первый дифференциал функции. Инвариантность его формы. Геометрический первого смысл дифференциала. Первая производная функции, заданной параметрически.
28
Производные высших порядков, формула Лейбница. Вторая производная функции, заданной параметрически. Производные высших порядков показательной, степенной, логарифмической функции, синуса и косинуса.
29
Понятие возрастания (убывания) в точке и локального экстремума функции. Достаточное условие возрастания (убывания) и необходимое условие экстремума дифференцируемой в данной точке функции. Теорема Дарбу о промежуточных значениях производной.
30
Теорема о нуле производной (теорема Ролля) и ее геометрический смысл. Контрпримеры: если не выполнено любое из трех условий, заключение может не иметь место.
31
Формула конечных приращений (формула Лагранжа). Геометрический смысл теоремы Лагранжа. Следствия из теоремы Лагранжа: признак монотонности функции, критерий постоянства, достаточное условие равномерной непрерывности.
32
Обобщенная формула конечных приращений (формула Коши). Геометрический смысл теоремы Коши.
33
Первое правило Лопиталя (правило Лопиталя для бесконечно малых функций)
34
Второе правило Лопиталя (правило Лопиталя для бесконечно больших функций)
35
Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (в форме Шлемильха-Роша).
36
Остаточный член в формуле Тейлора в форме Лагранжа, Коши и Пеано. Его оценка.
37
Разложение по формуле Тейлора-Маклорена элементарных функций. Примеры приложений формулы Тейлора для приближенных вычислений элементарных функций и вычисления пределов.
38
Понятие первообразной и неопределенного интеграла функции. Простейшие свойства неопределенного интеграла. Таблица неопределенных интегралов.
39
Простейшие методы интегрирования (замена переменной, интегрирование по частям).
40
Интегрируемость в элементарных функциях класса рациональных дробей (с вещественными коэффициентами).
41
Интегрируемость в элементарных функциях дробно-линейных иррациональностей и других классов функций.
42
Метод хорд и его обоснование.
43
Метод касательных и его обоснование.
Определения и формулировки (коллоквиум)
44
Определение ограниченного (сверху, снизу) числового множества.
45
Определение точной верхней грани числового множества $\{x\}$.
46
Определение точной нижней грани числового множества $\{x\}$.
47
Определение: число $M$ не является точной верхней гранью множества $\{x\}$.
48
Определение: число $M$ не является точной нижней гранью множества $\{x\}$.
49
Определение предела числовой последовательности.
50
Определение ограниченной (неограниченной) последовательности.
51
Определение бесконечно малой (не бесконечно малой) числовой последовательности.
52
Определение бесконечно большой (не бесконечно большой) числовой последовательности.
53
Определение монотонной последовательности.
54
Теорема о монотонной ограниченной последовательности.
55
Теорема Больцано–Вейерштрасса.
56
Определение фундаментальной последовательности.
57
Последовательность $\{x_n\}$ удовлетворяет (не удовлетворяет) условию Коши.
58
Критерий Коши сходимости последовательности.
59
Определение функции на числовом множестве.
60
Определение ограниченной (не ограниченной) функции на множестве $\{x\}$.
61
Определение точной верхней грани функции на множестве $\{x\}$.
62
Определение точной нижней грани функции на множестве $\{x\}$.
63
Определение монотонной функции.
64
Определение предела функции по Коши.
65
Определение предела функции по Гейне.
66
Определение по Коши (по Гейне): верно/неверно, что $\lim\limits_{x\to a} f(x) = b$.
67
Определение по Коши (по Гейне): верно/неверно, что $\lim\limits_{x\to a+0} f(x) = b$.
68
Определение по Коши (по Гейне): верно/неверно, что $\lim\limits_{x\to a-0} f(x) = b$.
69
Определение по Коши (по Гейне): верно/неверно, что $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x) = b$.
70
Определение по Коши (по Гейне): верно/неверно, что $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x) = b$.
71
Определение по Коши (по Гейне): верно/неверно, что $\lim\limits_{x\to a} f(x) = \infty$.
72
Определение по Коши (по Гейне): верно/неверно, что $\lim\limits_{x\to a+0} f(x) = +\infty$.
73
Определение по Коши (по Гейне): верно/неверно, что $\lim\limits_{x\to a+0} f(x) = -\infty$.
74
Определение по Коши (по Гейне): верно/неверно, что $\lim\limits_{x\to a+0} f(x) = \infty$.
75
Определение по Коши (по Гейне): верно/неверно, что $\lim\limits_{x\to a-0} f(x) = \infty$.
76
Определение по Коши (по Гейне): верно/неверно, что $\lim\limits_{x\to a-0} f(x) = +\infty$.
77
Определение по Коши (по Гейне): верно/неверно, что $\lim\limits_{x\to \infty} f(x) = +\infty$.
78
Определение по Коши (по Гейне): верно/неверно, что $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x) = -\infty$.
79
Определение по Коши (по Гейне): верно/неверно, что $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x) = +\infty$.
80
Определение по Коши (по Гейне): верно/неверно, что $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x) = +\infty$.
81
Определение по Коши (по Гейне): верно/неверно, что $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x) = -\infty$.
82
Определение по Коши (по Гейне): верно/неверно, что $\lim\limits_{x\to a} f(x) = b+0$.
83
Определение по Коши (по Гейне): верно/неверно, что $\lim\limits_{x\to a} f(x) = b-0$.
84
Определение по Коши (по Гейне): верно/неверно, что $\lim\limits_{x\to a+0} f(x) = b-0$.
85
Определение по Коши (по Гейне): верно/неверно, что $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x) = b+0$.
86
Критерий Коши существования предельного значения функции в точке $a$.
87
Критерий Коши существования предельного значения функции в точке $a$ справа.
88
Критерий Коши существования предельного значения функции в точке $a$ слева.
89
Функция $F(x)$ удовлетворяет (не удовлетворяет) условию Коши при стремлении $x$ к $a+0$.
90
Функция $F(x)$ удовлетворяет (не удовлетворяет) условию Коши при стремлении $x$ к $a-0$.
91
Функция $F(x)$ удовлетворяет (не удовлетворяет) условию Коши при стремлении $x$ к $a$.
92
Функция $F(x)$ удовлетворяет (не удовлетворяет) условию Коши при стремлении $x$ к $+\infty$.
93
Функция $F(x)$ удовлетворяет (не удовлетворяет) условию Коши при стремлении $x$ к $-\infty$.
94
Функция $F(x)$ удовлетворяет (не удовлетворяет) условию Коши при стремлении $x$ к $\infty$.
95
Определение: $\varphi(x) = O^*(\psi(x))$, $x\to a$.
96
Определение: $\varphi(x) = \bar o(\psi(x))$, $x\to a$.
97
Определение: $\varphi(x) = \bar o(\psi(x))$, $x\to a+0$.
98
Определение: $\varphi(x) = \bar o(\psi(x))$, $x\to a-0$.
99
Определение: $\varphi(x) = O(\psi(x))$, $x\to a$.
100
Определение: $\varphi(x) \sim \psi(x)$, $x\to a$.
101
Определение: $\varphi(x) \sim \psi(x)$, $x\to a+0$.
102
Определение: $\varphi(x) \sim \psi(x)$, $x\to a-0$.
103
Определение функции, непрерывной в точке $a$.
104
Определение функции, непрерывной в точке $a$ справа.
105
Определение функции, непрерывной в точке $a$ слева.
106
Определение функции, непрерывной на множестве $\{x\}$.
107
Определение точки устранимого разрыва функции.
108
Определение точки разрыва функции I рода.
109
Определение точки разрыва функции II рода.
110
Теорема о непрерывности сложной функции.
111
Первая теорема Вейерштрасса.
112
Вторая теорема Вейерштрасса.
113
Теорема о прохождении непрерывной функции через нуль.
114
Теорема о сохранении знака непрерывной функцией.
115
Определение функции, равномерно непрерывной на множестве $\{x\}$.
116
Определение: функция не является равномерно непрерывной на множестве $\{x\}$.
117
Теорема Кантора.
118
Определение производной функции.
119
Геометрический смысл производной данной функции.
120
Определение дифференцируемой функции.
121
Определение дифференциала функции.
122
Теорема: инвариантность формы первого дифференциала.
123
Теорема о производной сложной функции.
124
Теорема о производной обратной функции.
125
Определение производной высокого порядка.
126
Формула Лейбница для производной порядка $n$ от произведения двух функций.
127
Определение возрастания (убывания) функции в точке.
128
Определение локального максимума (минимума) функции в точке.
129
Достаточное условие возрастания (убывания) функции в точке.
130
Необходимое условие локального экстремума функции в точке.
131
Теорема Ролля.
132
Теорема Лагранжа.
133
Теорема Коши (обобщённая формула конечных приращений).
134
Первое правило Лопиталя.
135
Второе правило Лопиталя.
136
Формула Тейлора с остаточным членом в общей форме.
137
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
138
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Коши.
139
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
140
Определение первообразной функции.
141
Определение неопределённого интеграла.
142
Теорема об интегрировании по частям в неопределённом интеграле.
143
Теорема о замене переменной интегрирования в неопределённом интеграле.